Đề thi và lời giải môn Toán THPT Chuyên Bắc Ninh

Please follow and like us:

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức  với

1) Rút gọn P.

2) Tìm số chính phương x sao cho  là số nguyên.

Câu II. (2,0 điểm)

1) Cho các số thực x, y, z, a, b, c thỏa mãn các điều kiện  và . Chứng minh rằng.

2) Tìm các số nguyên a để phương trình:  có nghiệm nguyên. Hãy tìm các nghiệm nguyên đó.

Câu III. (1,5 điểm)

1) Cho hệ phương trình  với  là ẩn,  là tham số. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất  thỏa mãn

2) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu IV. (3,0 điểm)

            Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Các tiếp tuyến với (O) tại BC cắt nhau tại N. Vẽ dây AM song song với BC. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại MP.

           1) Cho biết ,  tính  độ dài đoạn BC.

           2) Chứng minh rằng

3) Chứng minh rằng BC, ONAP đồng quy.

Câu V. (1,5 điểm)

1) Cho đường tròn tâm O bán kính 1, tam giác ABC có các đỉnh A, B, C nằm trong đường tròn và có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC.

2) Cho tập . Hãy tìm số nguyên dương  nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm  phần tử của  đều tồn tại hai số phân biệt  mà  là một số nguyên tố.

 

————Hết————

(Đề này gồm có 01 trang)

           Họ và tên thí sinh: ………………Số báo danh: …………………..

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2014 – 2015

Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)

Câu Đáp án Điểm
I.1

(1,0 điểm)

  0,5
. 0,5
I.2

(1,0 điểm)

  Ta có  là ước của 2 gồm: . 0,5
Từ đó tìm được 0,5
II.1

(1,0 điểm)

  ĐK:

Từ

0,25
Ta có 0,5
. 0,25
II.2

(1,0 điểm)

  D = . PT có nghiệm nguyên thì D = n2 với n Î

Hay Û Û

0,25
Vì 167 là số nguyên tố và  nên ta có các trường hợp:

+) (t/m).

+) (t/m).

0,5
Với  thì PT có hai nghiệm nguyên là

Với  thì PT có hai nghiệm nguyên là

0,25
III.1

(0,5 điểm)

  Từ (1) có , thay vào (2) ta có 0,25
x2 – 2xy = m2 – 2m – 2 = (m – 1)2 – 3 > 0 Û Û 0,25
III.2

(1,0 điểm)

  Chứng minh được  dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Từ giả thiết ta có .

0,25
Ta có

Mà  nên .

0,5
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là  dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 0,25
IV.1

(1,0 điểm)

  Ta có  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);

Do đó,  là trung trực của BC. Gọi K là giao điểm của ONBC thì K là trung điểm của BC.

0,5
Mà  vuông tại B, BK là đường cao nên

Kết hợp giả thiết suy ra

0,5
IV.2

(1,0 điểm)

  Ta có  đồng dạng (g.g)  (1).

Tương tự,  đồng dạng (g.g)  (2).

0,25
Vì  (3) nên từ (1), (2) và (3) suy ra  (4). 0,25
Mặt khác,  Tứ giác AMCB là hình thang cân (5).

Từ (4), (5)

0,5
IV.3

(1,0 điểm)

  Gọi Q là giao điểm của APBC. Ta chứng minh

Vì  đồng dạng (g.g)  (6).

0,25
Tương tự  đồng dạng (g.g)  (7). 0,25
Kết hợp (6), (7) và kết quả câu b) ta suy ra  là trung điểm của BC. Suy ra . Vậy  đồng quy tại K. 0,5
V.1

(0,5 điểm)

  Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC. Không mất tính tổng quát giả sử AO nằm về hai phía của đường thẳng BC.

Suy ra đoạn AO cắt đường thẳng BC tại K. Kẻ AH vuông góc với BC tại H.

Suy ra, AH £ AK < AO < 1  suy ra AH < 1.

0,25
Suy ra,  (mâu thuẫn với giả thiết). Suy ra điều phải chứng minh. 0,25
V.2

(1,0 điểm)

  Nếu  chẵn thì  là hợp số. Do đó nếu tập con  của  có hai phần tử phân biệt  mà  là một số nguyên tố thì  không thể chỉ chứa các số chẵn. Suy ra, . Ta chứng tỏ  là giá trị nhỏ nhất cần tìm. Điều đó có ý nghĩa là với mọi tập con  gồm 9 phần tử bất kỳ của  luôn tồn tại hai phần tử phân biệt  mà là một số nguyên tố. 0,5
Để chứng minh khẳng định trên ta chia tập  thành các cặp hai phần tử phân biệt  mà  là một số nguyên tố, ta có tất cả 8 cặp:

.

Theo nguyên lý Dirichlet thì 9 phần tử của  có hai phần tử cùng thuộc một cặp và ta có điều phải chứng minh.

0,5

 

Chú ý:

  1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
  2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
  3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.

———–Hết———–

 

 

 

 

Please follow and like us:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.