Đề thi và đáp án môn toán HSG lớp 8 GIỒNG RIỀNG

Please follow and like us:

 

Đề thi và đáp án môn toán HSG lớp 8 GIỒNG RIỀNG

ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 8

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (4 điểm)

a/ Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9

b/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A =  5n+2 + 26.5n + 82n+1  59

 

Bài 2: (4 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/ x3 + y3 + z3 – 3xyz

b/ x4 + 2011x2 + 2010x + 2011

 

Bài 3: (4 điểm)

a/ Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3

b/ Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức N = a4 + b4 + c4

 

Bài 4: (4 điểm)

Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 600, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC. Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao?

 

Bài 5: (4 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD.

a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy.

b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành.

—HẾT—

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8

(THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012)

———————-

Bài 1: (4 điểm)

a/

Ta phải chứng minh: A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3  9 với n  Z

A = n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8

= 3n3 + 9n2 + 15n + 9                                          (0,5đ)

= 3n3 – 3n + 9n2 + 18n + 9                                 (0,5đ)

= 3n(n – 1)(n + 1) + 9n2 + 18n + 9                    (0,5đ)

Nhận thấy  n(n – 1)(n + 1)  3 nên 3n(n – 1)(n + 1)  9 Và 9n2 + 18n + 9  9

Vậy A  9                                                                  (0,5đ)

b/ 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n =   (0,5đ)

= 5n(59 – 8) + 8.64n           (0,5đ)

= 59.5n + 8(64n – 5n)         (0,5đ)

59.5n  59 và 8(64n – 5n) (64 – 5) = 59

vậy 5n+2 + 26.5n + 82n+1  59                                (0,5đ)

 

Bài 2: (4 điểm)

a/ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz =

= (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z)                       (0,5đ)

= (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy]                                      (0,5đ)

= (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy]     (0,5đ)

= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)                                            (0,5đ)

 

b/ x4 + 2011x2 + 2010x + 2011 =

= x4 + x3 + x2 + 2010x2 + 2010x + 2010 – x3 + 1                              (0,5đ)

= x2(x2 + x + 1) + 2010(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)                  (0,5đ)

= (x2 + x + 1)(x4 + 2010 – x + 1)                                                         (0,5đ)

= (x2 + x + 1)(x4– x + 2011)                                                                 (0,5đ)

 

Bài 3: (4 điểm)

a/ Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3

Từ a2 + b2 = 20  (a + b)2 – 2ab = 20  ab = -8(0,5đ)

M = a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

= 23 – 3.(-8).2 = 56                                             (0,5đ)

b/ Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức N = a4 + b4 + c4

Từ a2 + b2 + c2 = 14

(a2 + b2 + c2)2 = 196

a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)        (0,5đ)

Ta lại có: a + b + c = 0  (a + b + c)2 = 0

a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0                      (0,5đ)

(ab + bc + ca) = -7                                              (0,5đ)

(ab + bc + ca)2 = 49

a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) = 49        (0,5đ)

a2b2 + b2c2 + c2a2 = 49                                       (0,5đ)

Do đó N = a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 196 – 2.49 = 98 (0,5đ)

 

Bài 4: (4 điểm)

– Hình vẽ                                                                    (0,5đ)

– Do ABCD là hình thang cân và

Suy ra  và  là các tam giác đều.      (0,5đ)

– Chứng minh  vuông tại F                           (0,5đ)

– Xét  vuông tại F có:                (0,5đ)

– Chứng minh  vuông tại E                           (0,5đ)

– Xét  vuông tại E có:                (0,5đ)

– Xét  có:                                     (0,5đ)

– Suy ra EF = EG = FG nên  đều                (0,5đ)

 

 

Bài 5: (4 điểm)

a/

– Hình vẽ:                                                          (0,25đ)

– Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm của BD. (0,25đ)

– Chứng minh BEDF là hình bình hành         (0,5đ)

– Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của EF                                                            (0,5đ)

– Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O.                 (0,5đ)

b/

– Xét ABD có M là trọng tâm, nên (0,5đ)

– Xét BCD có N là trọng tâm, nên  (0,5đ)

– Mà OA = OC nên OM = ON                             (0,5đ)

– Tứ giác EMFN có OM = ON và OE = OF nên là hình bình hành. (0,5đ)

Trên đây là những gợi ý đáp án và biểu điểm, Học sinh có thể giải theo cách khác. Tùy vào bài làm cụ thể của học sinh, giám khảo cho điểm tương ứng.

Please follow and like us:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.