Đề thi và lời giải môn toán vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2013 – 2014
Câu 1. (2,0 điểm)
- a) Giải phương trình:
- b) Với giá trị nào của x thì biểu thức xác định?
- c) Rút gọn biểu thức:
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho hàm số: (1), trong đó m là tham số.
- a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm . Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên
- b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng d:
Câu 3. (1,5 điểm)
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B.
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn đường kính BC, trên nửa đường tròn lấy điểm A (khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên cung AC lấy điểm D bất kì (khác A và C), đường thẳng BD cắt AH tại I. Chứng minh rằng:
- là tứ giác nội tiếp;
- AB2 = BD;
- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID luôn nằm trên một đường thẳng cố định
khi D thay đổi trên cung AC.
Câu 5. (1,5 điểm)
- a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn phương trình:
- b) Cho tứ giác lồi ABCD có và là các góc tù. Chứng minh rằng
————Hết————
(Đề này gồm có 01 trang)
Họ và tên thí sinh: ……………………………..……Số báo danh: …………………..
| UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO |
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh) |
| Câu | Lời giải sơ lược | Điểm |
| 1
(2,0 điểm) |
a) (0,5 điểm) | |
| Ta có | 0,25 | |
| 0,25 | ||
| b) (0,5 điểm) | ||
| xác định khi 0 | 0,25 | |
| 0,25 | ||
| c) (1,0 điểm) | ||
| A= | 0,5 | |
| = | 0,5 | |
| 2
(1,0 điểm)
|
a) (1,0 điểm) | |
| Vì đồ thị hàm số (1) đi qua nên
Vậy đồ thị hàm số (1) đi qua . |
0,5 | |
| Vì nên hàm số (1) đồng biến trên . | 0,5 | |
| b) (1,0 điểm) | ||
| Đồ thị hàm số (1) song song với d khi và chỉ khi
|
0,5 | |
| .
Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.
|
0,5 | |
| 3
(1,5 điểm)
|
||
| Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x km/h, .
Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là |
0,25 | |
| Vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ B đến A là x+3
Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ B đến A là |
0,25 | |
| Ta có phương trình: | 0,25 | |
| Giải phương trình này ra hai nghiệm | 0,5 | |
| Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 12 km/h
|
0,25 | |
| 4
(3,0 điểm) |
a) (1,0 điểm) | |
| Vẽ hình đúng, đủ phần a. | 0,25 | |
| AH BC (1) | 0,25 | |
| ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay (2) | 0,25 | |
| Từ (1) và (2) là tứ giác nội tiếp. | 0,25 | |
| b) (1,0 điểm) | ||
| Xét và có góc chung, (Vì cùng bằng ).
Suy ra, hai tam giác đồng dạng. |
0,75 | |
| . (đpcm) | 0,25 | |
| c) (1,0 điểm) | ||
| (chứng minh trên). | 0,25 | |
| AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ADI với mọi D thuộc cung AD và A là tiếp điểm. (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) | 0,25 | |
| Có ABAC tại A AC luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp . Gọi M là tâm đường trong ngoại tiếp M luôn nằm trên AC. | 0,25 | |
| Mà AC cố định M thuộc đường thẳng cố định. (đpcm) | 0,25 | |
| 5
(1,5 điểm)
|
a) (1,0 điểm) | |
|
Do nguyên nên nguyên Mà nên ta có bốn trường hợp |
0,5 | |
| ;
; Vậy các giá trị cần tìm là. |
0,5 | |
| b) (0,5 điểm) | ||
| Vẽ đường tròn đường kính BD. Do các góc A, C tù nên hai điểm A, C nằm trong đường tròn đường kính BD. Suy ra, (Do BD là đường kính). | 0,5 | |